isteward.ru → Windows 10

Определитель матрицы определение. Определители квадратных матриц. К началу страницы

Понятие определителя является одним из основных в курсе линейной алгебры. Это понятие присуще ТОЛЬКО КВАДРАТНЫМ МАТРИЦАМ, этому понятию и посвящена данная статья. Здесь мы будем говорить об определителях матриц, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа. В этом случае определитель есть действительное (или комплексное) число. Все дальнейшее изложение будет ответом на вопросы как вычислять определитель, и какими свойствами он обладает.

Сначала дадим определение определителя квадратной матрицы порядка n на n как сумму произведений перестановок элементов матрицы. На основании этого определения запишем формулы для вычисления определителей матриц первого, второго, третьего порядков и подробно разберем решения нескольких примеров.

Далее перейдем к свойствам определителя, которые будем формулировать в виде теорем без доказательства. Здесь будет получен метод вычисления определителя через его разложение по элементам какой-либо строки или столбца. Этот метод позволяет свести вычисление определителя матрицы порядка n на n к вычислению определителей матриц порядка 3 на 3 или меньшего. Обязательно покажем решения нескольких примеров.

В заключении остановимся на вычислении определителя методом Гаусса. Этот метод хорош при нахождении значений определителей матриц порядка выше 3 на 3 , так как требует меньших вычислительных усилий. Также разберем решение примеров.

Навигация по странице.

Определение определителя матрицы, вычисление определителя матрицы по определению.

Напомним несколько вспомогательных понятий.

Определение.

Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов.

Для множества, содержащего n элементов, существует n! (n факториал) перестановок порядка n . Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Например, рассмотрим множество, состоящее из трех чисел: . Запишем все перестановки (всего их шесть, так как ):

Определение.

Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и q , для которой p-ый элемент перестановки больше q-ого .

В предыдущем примере инверсией перестановки 4 , 9 , 7 является пара p=2 , q=3 , так как второй элемент перестановки равен 9 и он больше третьего, равного 7 . Инверсией перестановки 9 , 7 , 4 будут три пары: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) и p=2 , q=3 (7>4 ).

Нас будет больше интересовать количество инверсий в перестановке, а не сама инверсия.

Пусть - квадратная матрица порядка n на n над полем действительных (или комплексных) чисел. Пусть – множество всех перестановок порядка n множества . Множество содержит n! перестановок. Обозначим k–ую перестановку множества как , а количество инверсий в k-ой перестановке как .

Определение.

Определитель матрицы А есть число, равное .

Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А . Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1) , если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

Определитель матрицы А обычно обозначается как , также встречается обозначение det(A) . Также можно услышать, что определитель называют детерминантом.

Итак, .

Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы .

Вычисление определителя квадратной матрицы второго порядка - формула и пример.

порядка 2 на 2 в общем виде.

В этом случае n=2 , следовательно, n!=2!=2 .

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 2 на 2 , она имеет вид .

Пример.

порядка .

Решение.

В нашем примере . Применяем полученную формулу :

Вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка - формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 в общем виде.

В этом случае n=3 , следовательно, n!=3!=6 .

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы .

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3 , она имеет вид

Аналогично можно получить формулы для вычисления определителей матриц порядка 4 на 4 , 5 на 5 и более высоких. Они будут иметь очень громоздкий вид.

Пример.

Вычислите определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 .

Решение.

В нашем примере

Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка:

Формулы для вычисления определителей квадратных матриц второго и третьего порядков очень часто применяются, так что рекомендуем их запомнить.

Свойства определителя матрицы, вычисление определителя матрицы с использованием свойств.

На основании озвученного определения справедливы следующие свойства определителя матрицы .

Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы А Т , то есть, .

Пример.

Убедитесь, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

Решение.

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3 :

Транспонируем матрицу А :

Вычислим определитель транспонированной матрицы:

Действительно, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Если в квадратной матрице все элементы хотя бы одной из строк (одного из столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю.

Пример.

Проверьте, что определитель матрицы порядка 3 на 3 равен нулю.

Решение.

Действительно, определитель матрицы с нулевым столбцом равен нулю.

Если переставить местами две любые строки (столбца) в квадратной матрице, то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак).

Пример.

Даны две квадратные матрицы порядка 3 на 3 и . Покажите, что их определители противоположны.

Решение.

Матрица В получена из матрицы А заменой третьей строки на первую, а первой на третью. Согласно рассмотренному свойству определители таких матриц должны отличаться знаком. Проверим это, вычислив определители по известной формуле.

Действительно, .

Если в квадратной матрице хотя бы две строки (два столбца) одинаковы, то ее определитель равен нулю.

Пример.

Покажите, что определитель матрицы равен нулю.

Решение.

В данной матрице второй и третий столбцы одинаковы, так что согласно рассмотренному свойству ее определитель должен быть равен нулю. Проверим это.

На самом деле определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами есть ноль.

Если в квадратной матрице все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на некоторое число k , то определитель полученной матицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k . Например,

Пример.

Докажите, что определитель матрицы равен утроенному определителю матрицы .

Решение.

Элементы первого столбца матрицы В получены из соответствующих элементов первого столбца матрицы А умножением на 3 . Тогда в силу рассмотренного свойства должно выполняться равенство . Проверим это, вычислив определители матриц А и В .

Следовательно, , что и требовалось доказать.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

Не путайте и не смешивайте понятия матрицы и определителя! Рассмотренное свойство определителя матрицы и операция умножения матрицы на число это далеко не одно и то же.
, но .

Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы представляют собой сумму s слагаемых (s – натуральное число, большее единицы), то определитель такой матрицы будет равен сумме s определителей матриц, полученных из исходной, если в качестве элементов строки (столбца) оставить по одному слагаемому. Например,

Пример.

Докажите, что определитель матрицы равен сумме определителей матриц .

Решение.

В нашем примере , поэтому в силу рассмотренного свойства определителя матрицы должно выполняться равенство . Проверим его, вычислив соответствующие определители матриц порядка 2 на 2 по формуле .

Из полученных результатов видно, что . На этом доказательство завершено.

Если к элементам некоторой строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число k , то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

Пример.

Убедитесь, что если к элементам третьего столбца матрицы прибавить соответствующие элементы второго столбца этой матрицы, умноженные на (-2) , и прибавить соответствующие элементы первого столбца матрицы, умноженные на произвольное действительное число , то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

Решение.

Если отталкиваться от рассмотренного свойства определителя, то определитель матрицы, полученной после всех указанных в задаче преобразований, будет равен определителю матрицы А .

Сначала вычислим определитель исходной матрицы А :

Теперь выполним необходимые преобразования матрицы А .

Прибавим к элементам третьего столбца матрицы соответствующие элементы второго столбца матрицы, предварительно умножив их на (-2) . После этого матрица примет вид:

К элементам третьего столбца полученной матрицы прибавим соответствующие элементы первого столбца, умноженные на :

Вычислим определитель полученной матрицы и убедимся, что он равен определителю матрицы А , то есть, -24 :

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения .

Здесь - алгебраическое дополнение элемента матрицы , .

Это свойство позволяет вычислять определители матриц порядка выше чем 3 на 3 путем сведения их к сумме нескольких определителей матриц порядка на единицу ниже. Иными словами – это рекуррентная формула вычисления определителя квадратной матрицы любого порядка. Рекомендуем ее запомнить в силу достаточно частой применимости.

Разберем несколько примеров.

Пример.

порядка 4 на 4 , разложив его

по элементам 3-ей строки,
по элементам 2-ого столбца.

Решение.

Используем формулу разложения определителя по элементам 3-ей строки

Имеем

Так задача нахождения определителя матрицы порядка 4 на 4 свелась к вычислению трех определителей матриц порядка 3 на 3 :

Подставив полученные значения, приходим к результату:

Используем формулу разложения определителя по элементам 2-ого столбца

и действуем аналогично.

Не будем подробно расписывать вычисление определителей матриц третьего порядка.

Пример.

Вычислите определитель матрицы порядка 4 на 4 .

Решение.

Можно разложить определитель матрицы по элементам любого столбца или любой строки, однако выгоднее выбирать строку или столбец, содержащую наибольшее количество нулевых элементов, так как это поможет избежать лишних вычислений. Разложим определитель по элементам первой строки:

Вычислим полученные определители матриц порядка 3 на 3 по известной нам формуле:

Подставляем результаты и получаем искомое значение

Пример.

Вычислите определитель матрицы порядка 5 на 5 .

Решение.

В четвертой строке матрицы наибольшее количество нулевых элементов среди всех строк и столбцов, поэтому целесообразно разложить определитель матрицы именно по элементам четвертой строки, так как в этом случае нам потребуется меньше вычислений.

Полученные определители матриц порядка 4 на 4 были найдены в предыдущих примерах, так что воспользуемся готовыми результатами:

Пример.

Вычислите определитель матрицы порядка 7 на 7 .

Решение.

Не следует сразу бросаться раскладывать определитель по элементам какой либо строки или столбца. Если внимательно посмотреть на матрицу, то можно заметить, что элементы шестой строки матрицы можно получить умножением соответствующих элементов второй строки на двойку. То есть, если к элементам шестой строки прибавить соответствующие элементы второй строки, умноженные на (-2) , то определитель не изменится в силу седьмого свойства, а шестая строка полученной матрицы будет состоять из нулей. Определитель такой матрицы равен нулю по второму свойству.

Ответ:

Следует отметить, что рассмотренное свойство позволяет вычислить определители матриц любых порядков, однако приходится выполнять массу вычислительных операций. В большинстве случаев определитель матриц порядка выше третьего выгоднее находить методом Гаусса, который мы рассмотрим ниже.

Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Пример.

Покажите, что сумма произведений элементов третьего столбца матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца равна нулю.

Решение.

Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению их определителей, то есть, , где m – натуральное число большее единицы, A k , k=1,2,…,m – квадратные матрицы одного порядка.

Пример.

Убедитесь, что определитель произведения двух матриц и равен произведению их определителей.

Решение.

Найдем сначала произведение определителей матриц А и В :

Сейчас выполним умножение матриц и вычислим определитель получившейся матрицы:

Таким образом, , что и требовалось показать.

Вычисление определителя матрицы методом Гаусса.

Опишем суть этого метода. Матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к такому виду, чтобы в первом столбце все элементы, кроме стали нулевыми (это сделать всегда возможно, если определитель матрицы А отличен от нуля). Эту процедуру опишем чуть позже, а сейчас поясним, для чего это делается. Нулевые элементы получаются для того, чтобы получить самое простое разложение определителя по элементам первого столбца. После такого преобразования матрицы А , учитывая восьмое свойство и , получим

где - минор (n-1)-ого порядка , получающийся из матрицы А вычеркиванием элементов ее первой строки и первого столбца.

С матрицей, которой соответствует минор , проделывается такая же процедура получения нулевых элементов в первом столбце. И так далее до окончательного вычисления определителя.

Теперь осталось ответить на вопрос: «Как получать нулевые элементы в первом столбце»?

Опишем алгоритм действий.

Если , то к элементам первой строки матрицы прибавляются соответствующие элементы k-ой строки, в которой . (Если все без исключения элементы первого столбца матрицы А нулевые, то ее определитель равен нулю по второму свойству и не нужен никакой метод Гаусса). После такого преобразования «новый» элемент будет отличен от нуля. Определитель «новой» матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства.

Теперь мы имеем матрицу, у которой . При к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на , к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее. В заключении к элементам n-ой строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на . Так будет получена преобразованная матрица А , все элементы первого столбца которой, кроме , будут нулевыми. Определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства.

Разберем метод при решении примера, так будет понятнее.

Пример.

Вычислить определитель матрицы порядка 5 на 5 .

Решение.

Воспользуемся методом Гаусса. Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы ее первого столбца, кроме , стали нулевыми.

Так как изначально элемент , то прибавим к элементам первой строки матрицы соответствующие элементы, например, второй строки, так как :

Знак « ~ » означает эквивалентность.

Теперь прибавляем к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на , к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на , и аналогично действуем вплоть до шестой строки:

Получаем

С матрицей проводим ту же процедуру получения нулевых элементов в первом столбце:

Следовательно,

Сейчас выполняем преобразования с матрицей :

Замечание.

На некотором этапе преобразования матрицы по методу Гаусса может возникнуть ситуация, когда все элементы нескольких последних строк матрицы станут нулевыми. Это будет говорить о равенстве определителя нулю.

Подведем итог.

Определителем квадратной матрицы, элементы которой есть числа, является число. Мы рассмотрели три способа вычисления определителя:

через сумму произведений сочетаний элементов матрицы;
через разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы;
методом приведения матрицы к верхней треугольной (методом Гаусса).

Были получены формулы для вычисления определителей матриц порядка 2 на 2 и 3 на 3 .

Мы разобрали свойства определителя матрицы. Некоторые из них позволяют быстро понять, что определитель равен нулю.

При вычислении определителей матриц порядка выше 3 на 3 целесообразно использовать метод Гаусса: выполнить элементарные преобразования матрицы и привести ее к верхней треугольной. Определитель такой матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали.

Часто в ВУЗе попадаются задачи по высшей математики, в которых необходимо вычислить определитель матрицы . К слову, определитель может быть только в квадратных матрицах. Ниже рассмотрим основные определения, какими свойствами обладает определитель и как его правильно вычислить.. Также на примерах покажем подробное решение.

Что такое определитель матрицы: вычисление определителя при помощи определения

Определитель матрицы

Второго порядка – это число .

Определитель матрицы обозначается – (сокращенно от латинского названия детерминант), или .

Если:, тогда получается

Напомним ещё несколько вспомогательных определений:

Определение

Упорядоченный набор чисел, который состоит из элементов называется перестановкой порядка .

Для множества, которое содержит элементов есть факториал (n), который всегда обозначается восклицательным знаком: . Перестановки отличаются друг от друга всего лишь порядком следования. Чтобы вам было понятнее, приведём пример:

Рассмотрим множество из трёх элементов {3, 6, 7}. Всего перестановок 6, так как .:

Определение

Инверсия в перестановке порядка – это упорядоченный набор чисел (его ещё называют биекцией), где из них два числа образуют некий беспорядок. Это когда большее из чисел в данной перестановке расположено левее меньшего числа.

Выше мы рассматривали пример с инверсией перестановки, где были числа . Так вот, возьмём вторую строку, где судя по данным числам получается, что , а , так как второй элемент больше третьего элемента . Возьмём для сравнения шестую строку, где расположены числа: . Здесь есть три пары: , а , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.

Саму инверсию мы изучать не будем, а вот перестановки нам очень пригодятся в дальнейшем рассмотрении темы.

Определение

Определитель матрицы x – число:

– перестановка чисел от 1 до бесконечного числа , а – число инверсий в перестановке. Таким образом, в определитель входит слагаемых, которые называются “членами определителя”.

Можно вычислять определитель матрицы второго порядка, третьего и даже четвёртого. Также стоит упомянуть:

Определение

определитель матрицы – это число, которое равняется

Чтобы понять данную формулу, опишем её более подробно. Определитель квадратной матрицы x – это сумма, которая содержит слагаемых, а каждое слагаемое является собой произведением определённого количества элементов матрицы. При этом, в каждом произведении есть элемент из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Перед определённым слагаемым может появится в том случае, если элементы матрицы в произведении идут по порядку (по номеру строку), а количество инверсий в перестановке множество номеров столбцов нечётно.

Выше упоминалось о том, что определитель матрицы обозначается или , то есть, определитель часто называют детерминантом.

Итак, вернёмся к формуле:

Из формулы видно, что определитель матрицы первого порядка – это элемент этой же матрицы .

Вычисление определителя матрицы второго порядка

Чаще всего на практике определитель матрицы решается методами второго, третьего и реже, четвёртого порядка. Рассмотрим, как вычисляется определитель матрицы второго порядка:

В матрице второго порядка , отсюда следует, что факториал . Прежде чем применить формулу

Необходимо определить, какие данные у нас получаются:

2. перестановки множеств: и ;

3. количество инверсий в перестановке : и , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;

4. соответствующие произведения : и .

Получается:

Исходя из вышесказанного мы получаем формулу для вычисления определителя квадратной матрицы второго порядка, то есть x :

Рассмотрим на конкретном примере, как вычислять определитель квадратной матрицы второго порядка:

Пример

Задача

Вычислить определитель матрицы x :

Решение

Итак, у нас получается , , , .

Для решения необходимо воспользоваться ранее рассмотренной формулой:

Подставляем числа с примера и находим:

Ответ

Определитель матрицы второго порядка = .

Вычисление определителя матрицы третьего порядка: пример и решение по формуле

Определение

Определитель матрицы третьего порядка – это число, полученное из девяти заданных чисел, расположенных в виде квадратной таблицы,

Определитель третьего порядка находится почти так же, как и определитель второго порядка. Разница лишь в формуле. Поэтому, если хорошо ориентироваться в формуле, тогда и проблем с решением не будет.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка * :

Исходя из данной матрицы, понимаем, что , соответственно, факториал = , а это значит, что всего перестановок получается

Чтобы применить правильно формулу , необходимо найти данные:

Итак, всего перестановок множества :

Количество инверсий в перестановке , а соответствующие произведения = ;

Количество инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;

Инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;

. ; инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение =

. ; инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .

Теперь у нас получается:

Таким образом у нас получена формула для вычисления определителя матрицы порядка x :

Нахождение матрицы третьего порядка по правилу треугольника (правило Саррюса)

Как говорилось выше, элементы определителя 3-го порядка расположены в трёх строках и трёх столбцах. Если ввести обозначение общего элемента , тогда первый элемент обозначает номер строки, а второй элемент из индексов – номер столбца. Есть главная (элементы ) и побочная (элементы ) диагонали определителя. Слагаемые в правой части называются членами определителя).

Видно, что каждый член определителя находится в схеме только по одному элементу в каждой строке и каждого столбца.

Вычислять определитель можно при помощи правила прямоугольника, который изображён в виде схемы. Красным цветом выделены члены определителя из элементов главной диагонали, а также члены из элементов, которые находятся в вершине треугольников, что имеют по одной стороне, параллельны главной диагонали (лева схема), беруться со знаком .

Члены с синими стрелками из элементов побочной диагонали, а также из элементов, которые находятся в вершинах треугольников, что имеют стороны, параллельные побочной диагонали (правая схема) берутся со знаком .

На следующем примере научимся, как вычислять определитель квадратной матрицы третьего порядка.

Пример

Задача

Вычислить определитель матрицы третьего порядка:

Решение

В этом примере:

Вычисляем определитель, применяя формулу или схему, которые рассматривались выше:

Ответ

Определитель матрицы третьего порядка =

Основные свойства определителей матрицы третьего порядка

На основании предыдущих определений и формул рассмотрим основные свойства определителя матрицы .

1. Размер определителя не изменится при замене соответствующих строк, столбцов (такая замена называется транспонированием).

На примере убедимся, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы:

Вспомним формулу для вычисления определителя:

Транспонируем матрицу:

Вычисляем определитель транспонированной матрицы:

Мы убедились, что определитель транспортированной матрицы равен исходной матрице, что говорит о правильном решении.

2. Знак определителя изменится на противоположный, если в нём поменять местами любые два его столбца или две строки.

Рассмотрим на примере:

Даны две матрицы третьего порядка ( x ):

Нужно показать, что определители данных матриц противоположные.

Решение

В матрице и в матрице поменялись строки (третья с первой, и с первой на третью). Согласно второму свойству определители двух матриц должны отличаться знаком. То есть, одна матрица с положительным знаком, а вторая – с отрицательным. давайте проверим данное свойство, применив формулу для вычисления определителя.

Свойство верно, так как .

3. Определитель равняется нулю, если в нём есть одинаковые соответствующие элементы в двух строках (столбцах). Пусть у определителя одинаковые элементы первого и второго столбцов:

Поменяв местами одинаковые столбцы, мы, согласно свойству 2 получим новый определитель: = . С другой стороны, новый определитель совпадает с изначальным, поскольку одинаковые ответы элементы, то есть = . Из этих равенств у нас получается: = .

4. Определитель равняется нулю, если все элементы одной строки (столбца) нули. Это утверждение выплывает из того, что у каждого члена определителя по формуле (1) есть по одному, и только по одному элементу с каждой строки (столбца), у которого одни нули.

Рассмотрим на примере:

Покажем, что определитель матрицы равен нулю:

В нашей матрицы есть два одинаковых столбца (второй и третий), поэтому, исходя из данного свойства, определитель должен равняться нулю. Проверим:

И действительно, определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами равняется нулю.

5. Общий множитель элементов первой строки (столбца) можно вынести за знак определителя:

6. Если элементы одной строки или одного столбца определителя пропорциональны соответствующим элементам второй строки (столбца), тогда такой определитель равняется нулю.

Действительно, за свойством 5 коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, и тогда воспользоваться свойством 3.

7. Если каждый из элементов строк (столбцов) определителя является суммой двух слагаемых, то этот определитель можно подать в виде суммы соответствующих определителей:

Для проверки достаточно записать в развёрнутом виде по (1) определитель, что в левой части равенства, тогда отдельно сгруппировать члены, в которых содержатся элементы и .Каждая из полученных групп слагаемых будет соответственно первым и вторым определителем с правой части равенства.

8. Значения определения не изменятся, если к элементу одной строки или одного столбца прибавить соответствующие элементы второй строки (столбца), умноженные на одно и то же число:

Это равенство получается исходя из свойств 6 и 7.

9. Определитель матрицы , , равняется сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Здесь по подразумевается алгебраическое дополнение элемента матрицы . При помощи данного свойства можно вычислять не только матрицы третьего порядка, но и матрицы более высших порядков ( x или x ).Другими словами – это рекуррентная формула, которая нужна для того, чтобы вычислить определитель матрицы любого порядка. Запомните её, так как она часто применяется на практике.

Стоит сказать, что при помощи девятого свойства можно вычислять определители матриц не только четвёртого порядка, но и более высших порядков. Однако, при этом нужно совершать очень много вычислительных операций и быть внимательным, так как малейшая ошибка в знаках приведёт к неверному решению. Матрицы высших порядков удобнее всего решать методом Гаусса, и об этом поговорим позже.

10. Определитель произведения матриц одного порядка равен произведению их определителей.

Рассмотрим на примере:

Пример

Задача

Убедитесь, что определитель двух матриц и равен произведению их определителей. Даны две матрицы:

Решение

Сначала находим произведение определителей двух матриц и .

Теперь выполним умножение обеих матриц и таким образом, вычислим определитель:

Ответ

Мы убедились, что

Вычисление определителя матрицы при помощи метода Гаусса

Определитель матрицы обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a i j = b j + c j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b j , в другом - из элементов c j .

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором M i j элемента a i j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a i j определителя d называется его минор M i j , взятый со знаком (-1) i + j . Алгебраическое дополнение элемента a i j будем обозначать A i j . Таким образом, A i j = (-1) i + j M i j .

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

или j- го столбца d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример 1.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю. Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 1.5. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 +a 32 A 32 =

Пример 1.6. Вычислить определитель

A =
,в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Решение. Разложим определитель А по первой строке: A = a 11 A 11 = . Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

A =
.И так далее. После n шагов придем к равенству A = а 11 а 22. .. a nn.

3.Основные понятия систем линейных уравнений. Теорема Крамера.

Определение . Система линейных уравнений - это объединение из n линейныхуравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что числоуравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Определение . Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 ,k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решатьсистему.

2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.

3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.

Определение . Переменная x i называется разрешенной , если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в видеx 5 = x 4 .

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такаясистема является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;

2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы…

Как решить?: – Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»).
– Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
–Решение системы по формулам Крамера.
–Решение системы с помощью обратной матрицы.
–Решение системы методом Гаусса.

КРАМЕР

Сначала рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя: и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

Значит, система имеет единственное решение.

;

Как видите, корни получились иррациональными, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: « , значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теоремеКрамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

и n вспомогательных определителей D i (i= ), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

D × x i = D i (i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 1.14 . Решить методом Крамера систему уравнений:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 +2x 3 + 11 x 4 = 0.

Решение. Главный определитель этой системы D = = -142 ¹ 0, значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i (i= ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x i, столбцом из свободных членов: D 1 = = - 142, D 2 = = - 284, D 3 = = - 426,

D 4 = = 142. Отсюда x 1 = D 1 /D = 1, x 2 = D 2 /D = 2, x 3 = D 3 /D = 3, x 4 = D 4 /D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1) T .

Основные понятия систем линейных уравнений. Метод гаусса.

СМОТРИ ВЫШЕ.

Метод Гаусса - Жордана (метод полного исключения неизвестных) - метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса.

Алгоритм

1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

6. После повторения этой процедуры раз получают верхнюю треугольную матрицу

7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 1 .13. Решить систему уравнений методом Гаусса:x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2: ~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую: .

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7

ИЗ ТЕТРАДИ :

Метод Гаусса

Метод состоит из двух частей- прямого и обратного хода.

Прямой ход заключается в поведение расширение матрицы СЛУ к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. В ступенчатом виде матрице каждая последующая строка имеет в начале нулей больше, чем предыдущая – или она нулевая

Пример:

Элементарные преобразование строк матрицы- это:

1)прибавление чисел одной строки матрицы, умножены на какое-нибудь число, к одной из нижних строк матрицы.

2)Перемена двух строчек местами

Обратный ход метод Гаусса заключается в последовательном выражении одних переменных через других, начиная с нижней нулевой строки. В результате получается общее решение.

После прямого хода возможны 3 варианта ступенчатого вида расширенной матрицы:

1)Каждая след.строка имеет в начале ровно не один ноль больше, чем предыдущая

Пример:

Записываем по строчкам уравнение и начинаем находить значение переменных с нижней строчки.

4Х 4 =8Þ Х 4 =2

Подставляем в предыдущее уравнение

2Х 3 -3Х 4 =-8 т.е. 2Х 3 -3 * 2=-8 или 2Х 3 =-2, Þ Х 3 =-1 , подставляем Х3 и Х4 во вторую строчку и т.д. Получаем единственно решение СЛУ

2) Число ненулевых строк меньше числа переменных. Тогда одни из строк содержит в начале нулей по крайней мере на 2 больше предыдущей и считаем, что последующая ненулевая строка не имеет вид(0…0 b) где число b=0

Например:

3) Последняя ненулевая строка имеет вид (0…0/b),где b=0 ей соответствует противоречивые равенства о=b,поэтому система несовместима

Решение СЛУ методом Гаусса

2Х 1 +3Х 2 +Х 3 =1

4Х 1 +5Х 2 +4Х 3 =7

6Х 1 +10Х 2 -3Х 3 =-10

Составляем расширенную матрицу прямой ход.

Можно поставить в соответствие некоторое число , вычисляемое по определенному правилу и называемое определителем .

Необходимость введения понятия определителя - числа , характеризующего квадратную матрицу порядка n , тесно связано с решением систем линейных алгебраических уравнений .

Определитель матрицы А будем обозначать: |А | или D.

Определителем матрицы первого порядка А = (а 11) называется элемент а 11 . Например, для А = (-4) имеем |А | = -4.

Определителем матрицы второго порядка называется число , определяемое по формуле

|А | = .

Например, |А | = .

Словами это правило можно записать так: со своим знаком надо взять произведение элементов, соединенных главной диагональю , и произведения элементов, соединенных вершинами треугольников, у которых основание параллельно главной диагонали . С обратным знаком берутся аналогичные произведения, только относительно побочной диагонали.

Например,

Определение определителя матрицы n -го порядка давать не будем, а лишь покажем метод его нахождения.

В дальнейшем, вместо слов определитель матрицы n -го порядка будем говорить просто определитель n -го порядка . Введем новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица n -го порядка.

Минором М ij элемента а ij матрицы А называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1) i+j:

А ij = (-1) i + j М ij ,

т.е. алгебраическое дополнение либо совпадает со своим минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, либо отличается от него знаком, когда сумма номеров строки и столбца - нечетное число.

Например, для элементов а 11 и а 12 матрицы А = миноры

М 11 = А 11 = ,

М 12 = ,

а А 12 = (-1) 1+2 М 12 = -8.

Теорема (о разложении определителя) . Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

|А | = а i1 A i1 + а i2 A i2 + … + а in A in ,
для любого i = 1, 2, …, n

|А | = а 1j A 1j + а 2j A 2j + … + а nj A nj ,

для любого j = 1, 2, …, n

Первая формула называется i -ой строки, а вторая - разложением определителя по элементам j -го столбца.

Нетрудно понять, что с помощью этих формул любой определитель n -го порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых будет на 1 меньше и т.д. пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.

Для нахождения определителя могут быть применены следующие основные свойства:

1. Если какая-нибудь строка (или столбец) определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке любых двух строк (или двух столбцов) определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными строками (или столбцами) равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если все строки и столбцы поменять местами.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк (или к одному из столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.

7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Введение понятия определителя матрицы позволяет определить еще одно действие с матрицами - нахождение обратной матрицы.

Для каждого ненулевого числа существует обратное число, такое, что произведение этих чисел дает единицу. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие.

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица , т.е.

А ×А -1 = А -1 × А = Е.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица будет квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет свою обратную.

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

Определителем или детерминантом второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

Например,

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

В целях запоминания сочетания слагаемых, входящих в выражения для определения определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса: первое из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком плюс есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , а каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы.

Последние три слагаемые, входящие со знаком минус определяются аналогичным образом, только относительно побочной диагонали.

Пример:

Основные свойства определителей матрицы

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.

2. При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.

3. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.

4. Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель , то величина определителя не изменится.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.

Если все миноры порядка выше , которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка хотя бы один отличен от нуля, то число называется рангом этой матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента определителя порядка будем называть его минор порядка, получаемый вычеркиванием соответствующей строки и столбца, на пересечении которых, стоит элемент , взятый со знаком плюс, если сумма индексов равна четному числу и со знаком минус в противном случае.

Таким образом

где соответствующий минор порядка.

Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует руководствоваться следующим правилом: выбирать строку или столбец с наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вычислений.

Пример: .

При вычислении данного определителя, воспользовались приемом разложения его по элементам первого столбца. Как видно из приведенной формулы нет необходимости вычислять последний из определителей второго порядка, т.к. он умножается на ноль.

Вычисление обратной матрицы

При решении матричных уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени заменяет операцию деления, которая в явном виде в алгебре матриц отсутствует.

Квадратные матрицы одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу , называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица и для нее справедливо

Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы , для которой .

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу , транспонированную к матрице .

2. Заменяют каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.

4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы .